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ConjuntoEditar

De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsquedaEn matemáticas, un conjunto es un concepto fundamental, y como tal no admite definición en términos de conceptos más fundamentales.[1] A veces se lo presenta como un concepto autoevidente, o por medio de sinónimos. Por ejemplo, a veces se dice que un conjunto es una colección de objetos.[1] Por objeto aquí no debe entenderse sólo las entidades físicas, como las mesas y las sillas, sino todo objeto en el sentido más amplio de la palabra: mesas, sillas, personas, ideas, creencias, lenguajes, letras, otros conjuntos, etc. A los objetos que pertenecen a un conjunto se los llama miembros o elementos del conjunto.

Otras veces se toma a los axiomas de la teoría de conjuntos como proveyendo una definición implícita de lo que es un conjunto: un conjunto es todo aquello que cumple con los axiomas.[1] Sin embargo, esto conlleva el riesgo de que haya más de una interpretación que haga verdaderos a los axiomas (más de un modelo), y por lo tanto de que haya más de un definiendum

La cantidad de elementos de un conjunto puede ser finita o infinita.[2] Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, que son infinitos, es tanto como el conjunto de los planetas del Sistema Solar, que son ocho.

En un conjunto, el orden de los elementos es irrelevante.[2] El conjunto compuesto por Venus y Mercurio es el mismo que el compuesto por Mercurio y Venus. También es irrelevante si se repite un elemento.[2] Venus y Mercurio forman el mismo conjunto que Mercurio, Venus y Mercurio.

Los conjuntos no deben ser confundidos con los agregados. Los primeros son estudiados por la teoría de conjuntos, los segundos por la mereología. Los primeros son siempre entidades abstractas, los segundos no siempre. Por ejemplo, el conjunto de todas las personas no tiene ningún peso, pero el agregado de todas las personas sí.

[[[Conjunto|editar]]] Representación de un conjuntoEditar

AumentarA es subconjunto de B.AumentarUnión de A y B.AumentarIntersección de A y B.Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de la matemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, más o menos, una colección de objetos, denominados elementos. La notación estándar utiliza llaves {, y } alrededor de la lista de elementos para indicar el contenido del conjunto, como por ejemplo:

Las tres líneas anteriores denotan el mismo conjunto. Como puede verse, es posible describir el mismo conjunto de diferentes maneras: o bien dando un listado de sus elementos (lo mejor para conjuntos finitos pequeños) o bien dando una propiedad que defina todos sus elementos. Por otro lado, no importa el orden, ni cuantas veces aparezcan en la lista sus elementos.

Si A y B son dos conjuntos y todo elemento x de A está contenido también en B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Todo conjunto tiene como subconjunto a sí mismo y al conjunto vacío, {}.

La unión de una colección de conjuntos: es el conjunto de todos los elementos contenidos al menos una vez en los conjuntos y se representa:

La intersección de una colección de conjuntos: , es el conjunto de todos los elementos contenidos simultáneamente en todos los conjuntos: y se representa:

los conjuntos también son nombrados según el número de elementos que tengan ejemplo conjunto vacío, conjunto unitario,conjunto finito,conjunto infinito. Algunos ejemplos de conjuntos de números son:

  1. Los números naturales utilizados para contar los elementos de un conjunto.
  2. Los números enteros.
  3. Los números racionales.
  4. Los números reales, que incluyen a los números irracionales.
  5. Los números complejos que proporcionan soluciones a ecuaciones del tipo: x2 + 1 = 0.

La teoría estadística se construye sobre la base de la teoría de conjuntos y la teoría de la probabilidad.

Teoría de conjuntosEditar

De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsquedaAumentarDiagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su complemento La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor. Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento. A propósito de la noción de conjunto, Dedekind dijo que se los imaginaba como un saco cerrado que contiene cosas... de las que no sabemos nada fuera de que existen y son totalmente determinadas. Algún tiempo después, Cantor dio a conocer su idea de conjunto: elevó su colosal figura, describió con el brazo erguido un gesto soberbio, y dijo con la mirada perdida: 'Me imagino un conjunto como un abismo'. NotaciónUsualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...

De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:

para definir a tal conjunto . Esta notación empleada para definir al conjunto se llama notación por extensión.

Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos (léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de se escribe (léase no pertenece a ).

El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.

Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por . Es decir

La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles que no están contenidos en él, es decir

.

Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:

Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tal que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra .

Por ejemplo, el conjunto puede definirse por:

donde el símbolo representa al conjunto de los números naturales.

[[[Teoría de conjuntos|editar]]] Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y SuperconjuntosEditar

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( es reflexiva)
( es antisimétrica)
( es transitiva)

[[[Teoría de conjuntos|editar]]] Operaciones con conjuntosEditar

Sean y dos conjuntos.

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